En donde el resultado es una diferencia de cuadrados, para este capítulo es el caso contrario:
Donde siempre la diferencia de cuadrados es igual al producto de la suma por la diferencia de sus bases.
Pasos:
Se extrae la raíz cuadrada de ambos términos.
Se multiplica la suma por la diferencia de estas cantidades (el segundo termino del binomio negativo es la raíz del termino del binomio que es negativo).
Ejemplo explicativo:
Ejemplos:
EN ESTE VÍDEO SE PUEDE OBSERVAR LA EXPLICACION UN POQUITO MEJOR DE COMO FACTORIZAR DIFERENCIA D CUADRADOS
El trinomio de segundo grado, es el resultado de multiplicar dos binomios con un término en común.
Ejemplo:
Binomios con un término común.
Trinomio de segundo grado.
(x+3)(x-5)=
x2-2x-15
Primer paso.
Cuando el coeficiente de la literal de 2º grado es 1.
Para factorizar el trinomio de 2º grado.
a) Se escriben dos paréntesis.
b) Se obtiene la raíz cuadrada del primer término.
c) Se buscan 2 números que multiplicados entre sí den el tercer término y que sumados entre sí den el coeficiente del segundo término.
Ejemplo:
1) Supongamos que tienes el polinomio x2-2x-15
a) Se escriben dos paréntesis ( ) ( ).
b) Se obtiene la raiz cuadrada del primer término
c) Buscamos dos números que multiplicados den (-15) y sumados (-2) en este caso:
(+3)(-5)=-15
(+3)+(-5)=-2
Por lo tanto los factores son:
(x-5)(x+3)=x2-2x-15
Segundo paso.
Descomposición en factores de un trinomio de la forma ax2+px+q.
Este tipo de polinomios se generan cuando el término de segundogrado, tiene coeficiente diferente de 1.
1) Para hacer esta factorización se llevan a cabo los siguientes pasos:
a) Se multiplica el coeficiente del término de segundo grado por el término independiente, es decir, el que no tiene literal. En este caso (q), del cual tienes que tomar en cuenta el signo.
b) Se buscan dos números que sumados den el coeficiente del término de primer grado (p) y que multiplicados den como resultado el producto aq (término de segundo grado por el término independiente).
c) Sustituimos p, (el término de primer grado ) por la suma de los números hallados en el paso anterior.
d) Factorizamos el nuevo polinomio por agrupación de paréntesis.
Ejemplo:
Descomponer en factores el siguiente polinomio.
1) 10x2+x-2
a) Multiplicamos el coeficiente del término de segundo grado por el término independiente
(10)(-2)=-20
b) Se buscan dos números que multiplicados nos den como resultado -20 y sumados nos den como resultado el coeficiente del término de primer grado; en este caso +1, por lo tanto dos números que multiplicados dan -20 y sumados dan 1, son 5 y -4
c) Sustituimos el término de primer grado por la suma de los números hallados.
En este caso sustituimos +1x por 5x - 4x
10x2+5x-4x-2
e) Factorizamos el nuevo polinomio por agrupación.
10x2+5x-4x-2=5x(2x+1)-2(2x+1)
10x2+5x-4x-2=(2x+1)-(5x-2)
2) 7x2+23x+6
a)(7)(6)=42 ( el coeficiente del término de segundo grado por el término independiente).
b) Dos números que sumados sean igual a 23 y multiplicados sean igual a 42
Por lo tanto los números son 21 y 2, multiplicados dan 42 y sumados dan 23
c) Se sustituye 23x por 21x + 2x
d) 7x2+21x+2x+6
e) Se factoriza por agrupación.
7x2+21x+2x+6=7x(x+3)+2(x+3)
7x2+21x+2x+6=(7x+2)+(x+3)
3) 15x2-31x+10
a) (15) (10) = 150
b) Dos números que sumados den -31 y multiplicados den 150.
En este caso los números son -25 y -6
c) Sustituimos -31 por -25x - 6x
15x2-25x-6x+10
d) Factorizamos por agrupación.
15x2-25x-6x+10=5x(3x-5)-2(3x-5)
15x2-25x-6x+10=(3x-5)(5x-2)
EN ESTE VIDEO SE PUDO OBSERVAR COMO PODEMOS REALIZAR UN TRINOMIO DE SEGUNDO GRADO
Se llama trinomio cuadrado perfecto al trinomio (polinomio de tres términos) tal que, dos de sus términos son cuadrados perfectos y el otro término es el doble producto de las bases de esos cuadrados.
En el trinomio cuadrado perfecto los términos cuadrados son siempre positivos, en cambio el término del doble producto puede ser negativo; en este caso debe ser negativo uno de los términos del binomio cuyo cuadrado es el trinomio dado, del ejemplo anterior tenemos:
Ambas son respuestas aceptables.
Regla para conocer si un trinomio es cuadrado perfecto.
Un trinomio ordenado con relación a una letra es cuadrado perfecto cuando la primera y tercer letra son cuadrados perfectos (o tienen raíz cuadrada exacta) y son positivos y el segundo termino es el doble producto de sus raíces cuadradas.
Ejemplos:
PARA QUE PODAMOS ENTENDER MEJOR LA EXPLICACIÓN DE TRINOMIO CUADRADO PERFECTO VEAMOS EL SIGUIENTE VÍDEO DONDE SE EXPLICA PASO A PASO
EJEMPLOS
EN ESTE VIDEO ANTERIOR SE EXPLICO COMO SE PUEDE RESOLVER EL EJEMPLO DE T.C.P
EJEMPLO 2
EN EL SIGUIENTE VIDEO PODRAS OBSERVAR COMO RESOLVER EL EJEMPLO 2 DE T.C.P
CASO 1. Factorización por factor común (caso monomio):
Se escribe el factor común (F.C.) como un coeficiente de un paréntesis y dentro del mismo se colocan los coeficientes que son el resultado de dividir cada término del polinomio por el F.C.
Ejemplos:
a) Descomponer (o factorizar) en factores a 2 + 2ª .
El factor común (FC) en los dos términos es a por lo tanto se ubica por delante del paréntesis a( ). Dentro del paréntesis se ubica el resultado de:
, por lo tanto: a (a+2). Así: a 2 + 2a = a (a + 2
b) Descomponer (o factorizar) 10b - 30ab. Los coeficientes 10 y 30 tienen los factores comunes 2, 5 y 10. Tomamos el 10 porque siempre se toma el mayor factor común. El factor común (FC) es 10b. Por lo tanto: 10b - 30ab 2 = 10b (1 - 3ab)
CASO 2. Factorización por factor común (caso polinomio):
a) Descomponer x (a + b ) + m (a + b )
Estos dos términos tienen como factor común el binomio (a + b ), por lo que se pone (a + b ) como coeficiente de un paréntesis dentro del cual escribimos los cocientes de dividir los dos términos de la expresión dada entre el factor común (a + b ), o sea:
y se tiene:
x (a + b ) + m (a + b ) = (a + b )(x + m )
b) Descomponer 2x (a - 1) - y (a - 1)
El factor común es (a - 1), por lo que al dividir los dos términos de la expresión dada entre el factor común (a - 1), con lo que tenemos
luego:
2x (a - 1) - y (a - 1) = (a - 1)(2x - y )
c) Descomponer m (x + 2) + x + 2
Se puede escribir esta expresión así: m (x + 2) + (x + 2) = m (x + 2) + 1(x + 2) El factor común es (x + 2) con lo que: m (x + 2) + 1(x + 2) = (x + 2)(m + 1)
d) Descomponer a (x + 1) - x - 1 Al introducir los dos últimos términos en un paréntesis precedido del signo (-) , se tiene: a (x + 1) - x - 1 = a (x + 1) - (x + 1) = a (x + 1) - 1(x + 1) = (x + 1)(a - 1)
e) Factorizar 2x (x + y + z ) - x - y – z. Con esto: 2x (x + y + z ) - x - y - z = 2x (x + y + z ) - (x + y + z ) = (x + y + z )(2x - 1)
f) Factorizar (x - a )( y + 2) + b ( y + 2). El factor común es ( y + 2), y dividiendo los dos términos de la expresión dada entre ( y + 2) tenemos:
luego:
(x - a )( y + 2) + b ( y + 2) = ( y + 2)(x - a + b )
g) Descomponer (x + 2)(x - 1) + (x - 1)(x - 3). Al dividir entre el factor común(x-1)
En álgebra, la factorización es expresar un objeto o número (por ejemplo, un número compuesto, una matriz o un polinomio) como producto de otros objetos más pequeños (factores), (en el caso de números debemos utilizar los números primos) que, al multiplicarlos todos, resulta el objeto original. Por ejemplo, el número 15 se factoriza en números primos 3 × 5; y a²-b² se factoriza como binomio conjugados (a - b)(a + b).
Factorizar un polinomio
Antes que todo, hay que decir que todo polinomio se puede factorizar utilizando números reales, si se consideran los números complejos. Existen métodos de factorización, para algunos casos especiales.
Binomios
Diferencia de cuadrados
Suma o diferencia de cubos
Suma o diferencia de potencias impares iguales
Trinomios
Trinomio cuadrado perfecto
Trinomio de la forma x²+bx+c
Trinomio de la forma ax²+bx+c
Polinomios
Factor común
Caso I - Factor común
Sacar el factor común es añadir la literal común de un polinomio, binomio o trinomio, con el menor exponente y el divisor común de sus coeficientes, y para sacar esto, hay una regla muy sencilla que dice: Cuadrado del primer término más o menos cuadrado del segundo por el primero más cuadrado del segundo, y no hay que olvidar, que los dos que son positivos iguales funcionan como el primer término, sabiendo esto, será sumamente sencillo resolver los factores comunes.
Factor común monomio
Factor común por agrupación de términos
ab + ac + ad = a ( b + c + d) \,
ax + bx + ay + by = a (x+y) + b (x+y) = (x+y)(a + b ) \,
Factor común polinomio
Primero hay que determinar el factor común de los coeficientes junto con el de las variables (la que tenga menor exponente). Se toma en cuenta aquí que el factor común no solo cuenta con un término, sino con dos.
un ejemplo:
5x^2(x-y) + 3x(x-y) +7(x-y) \,
Se aprecia claramente que se está repitiendo el polinomio (x-y), entonces ese será el factor común. El otro factor será simplemente lo que queda del polinomio original, es decir:
(5x^2 + 3x +7) \,
La respuesta es:
(5x^2+3x+7)(x-y) \,
En algunos casos se debe utilizar el número 1, por ejemplo:
5a^2(3a+b) +3a +b \,
Se puede utilizar como:
5a^2(3a+b) + 1(3a+b) \,
Entonces la respuesta es:
(3a+b) (5a^2+1) \,
a continuación podemos observar un vídeo que nos explica un poco mas y nos da algunos ejemplos de factorizacion
a continuación aqui abajo podemos ver unas paginas donde aparecen ejercicios de factorizacion y explica un poquito mas acerca de esto
de estas paginas puedes observar algunos ejemplos y ejercicios que pueden servir para entender mejor la factorizacion
jueves, 5 de diciembre de 2013
BLOQUE II
ESTADÍSTICA
La estadística es una rama
de la Matemática que se ocupa de la recolección, organización, análisis e
interpretación de datos. La información contenida en una gran cantidad de datos
recolectados es muy difícil de obtener si no se realizan antes las tareas de
organización, análisis e interpretación propios de la Estadística.
Es por esto que en muchas áreas del conocimiento, actualmente la Estadística
resulta muy útil, y en algunas, hasta indispensable.
Por ejemplo, en las Ciencias Sociales se requiere con frecuencia estudiar el
comportamiento o la situación de grupos humanos numerosos, y para ello, la
Estadística resulta ser una herramienta fundamental.
Variables estadísticas: Las
variables estadísticas son los datos que proporcionan los individuos de la
población (o muestra) observada. Pueden ser cuantitativas, como en el caso
del estudio del rendimiento académico, si se usa el dato de la nota
definitiva que obtuvo cada alumno en la asignatura de Física. Siempre que la
información esté dada a través de números, se considera que es una vairable
cuantitativa. En el caso del estudio sobre el estado de los pupitres del
colegio, se tiene una variable cualitativa, pues la información sobre cada
pupitre no está dada en términos numéricos, sino que se ubica a cada uno en
una de las categorías: inservible, reparable, en buenas condiciones.
Se puede considerar a los estudiantes
con notas entre 07 y 11 como el grupo que logró aprender una parte de lo que
se dió en el curso de Física, pero una parte importante de lo que debió
aprender, no está entre sus conocimientos. En un nivel que podría llamarse
satisfactorio, estarían los 11 estudiantes con notas entre 12 y 17, y el
nivel de excelencia, lo alcanzaron sólo 4 estudiantes, con notas entre 18 y
20. Estas observaciones sugieren que también sería útil organizar la tabla de
frecuencias de la manera siguiente:
Intervalos
Frecuencia Absoluta
0-07
5
07-12
15
12-18
11
18-20
4
Este tipo de tabla suele llamarse una distribución de frecuencias. En la
columna de la izquierda se colocan intervalos de números que agrupan las
notas que pueden ser obtenidas por los estudiantes. Los intervalos indican
que los números a considerar en esa categoría son: el extremo inferior y
todos los mayores que él y menores que el extremo superior. Por ejemplo, en
el intervalo 0-07, se incluyen: 00, 01, 02, 03, 04, 05, 06. En el intervalo
12-18, se incluyen: 12, 13, 14, 15, 16, 17. Los intervalos son determinados
por el criterio de quien hace el estudio estadístico.
Se podrían escoger de distintas maneras, por ejemplo:
Intervalos
Frecuencia absoluta
00-03
0
03-06
4
06-09
4
09-12
12
12-15
6
15-18
5
18-20
4
Las distintas maneras de distribuir las frecuencias de ocurrencia de las
variables (en este caso, las notas) permiten observar el fenómeno desde
distintos puntos de vista. El punto de vista que interesaba en la primera
distribución, era el de la clasificación del grupo en 4 categorías: deficiente,
regular, satisfactorio y excelente. En este último ejemplo, la distribución
de frecuencias con intervalos de longitud igual a 3 es necesaria para obtener
una clasificación más detallada de los estudiantes. Se observa, por ejemplo,
que el intervalo (también llamado 'clase') donde hay un mayor número de
estudiantes es el 09-12, esto es, el que incluye las notas 09, 10 y 11.
Frecuencia Relativa: En las tablas de frecuencia construidas, se observa
que la columna de las frecuencias se denomina 'Frecuencia absoluta'. El
término 'absoluta' se refiere a que se trata simplemente de la frecuencia con
que las variables estadísticas toman el valor o los valores indicados.
La frecuencia relativa, por otra parte, se refiere a la proporción de datos
que caen en el intervalo dado con respecto al total de datos. Por ejemplo,
tomando el caso de la última tabla de frecuencias, el intervalo 09-12 tiene
una frecuencia absoluta de 12; su frecuencia relativa es, entonces, igual a:
12/35
Pues el total de datos (notas de estudiantes) es 35. Así, se tiene:
Frecuencia relativa
=FRECUENCIA ABSOLUTA ENTRE EL NUMERO TOTAL DE LOS DATOS
La frecuencia relativa, como es una proporción, proporciones permite establecer una comparación entre la
frecuencia de ocurrencia de ciertos datos y el número total de datos.
Por ejemplo, sabiendo que la frecuencia relativa del intervalo 18-20 es igual
a 4/35= 0,11
Frecuencia acumulada: La
frecuencia acumulada de un cierto valor o intervalo de valores (clase) se
define como la suma de todas las frecuencias absolutas que preceden a la clase
más la frecuencia absoluta de la clase en cuestión. Por ejemplo, en la tabla de
frecuencias absolutas:
Clase
Frecuencia
Absoluta
00-03
0
03-06
4
06-09
4
09-12
12
12-15
6
15-18
5
18-20
4
Se observa que la suma de las frecuencias absolutas de las tres primeras clases
es:0+4+4=8 ; eso significa que la frecuencia acumulada de
clase 06-09 es igual a 8. La frecuencia acumulada simplemente indica cuántos
estudiantes tienen nota inferior a 09 en el curso analizado.
Representaciones
Gráficas
Las distribuciones de frecuencias obtenidas en un estudio estadístico pueden
representarse gráficamente de diversas maneras. Una de ellas es el histograma,
el cual se utiliza cuando las variables estadísticas son cuantitativas, y se
han distribuido por intervalos de clases.
Para construir un histograma, se utilizan los ejes de coordenadas cartesianas
COMO PODEMOS OBSERVAR EN LA IMAGEN
ESTE PUEDE CONSIDERARSE UN EJEMPLO DE GRÁFICA DE BARRAS
en las estadísticastambién suelen usarse gráficas como las gráficas de pastel o la de puntos como estas que podemos observara continuación
este es un buen ejemplo de la grafica de pasteles para poder sacar esta se utiliza una formula que es los 360° de el circulo entre
este es un ejemplo de la grafica de puntos
en este video se nos explica un poco mas acerca de como podemos manejar lo que es la estdistica y nos enceña como podemos formar las graficas de barras, los histogramas
